Théorème : Soit $f:[a,b]\to [a,b]$ telle que $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ pour tout $x,y \in[a,b]$, $x\neq y$.
Alors $f$ admet un unique point fixe dans $[a,b]$.
Si $c$ et $d$ sont deux points fixes distincts, alors $|c-d|=|f(c )-f(d)|<|c-d|$ ce qui est une contradiction.
Pour prouver l'existence d'un point fixe, on commence par remarquer que $f$ est continue. On définit ensuite la fonction
$g$ sur $[a,b]$ par $g(x)=f(x)-x$. Alors $g$ est continue, $g(a)=f(a)-a\geq 0$ et $g(b)=f(b)-b\leq 0$. Par le théorème
des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[a,b]$ tel que $g(c)=0$, soit $f(c)=c$.
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