Développement décimal
Soit $x$ un nombre réel. On appelle développement décimal de $x$ toute écriture de $x-\lfloor x\rfloor$ sous la forme $$x-\lfloor x \rfloor=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}$$ où, pour tout $n\geq 1$, $a_n$ est un entier de $\{0,\dots,9\}$. Cette relation s'écrit encore parfois sous la forme : $$x=\lfloor x\rfloor+\overline{0,a_1a_2\dots a_n\dots}.$$
On a les propriétés suivantes :
- tout réel $x$ possède un développement décimal. Pour cela, on considère la suite $(x_n)$ des valeurs décimales approchées par défaut à $10^{-n}$ près de $x$, définie par $$x_n=\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}.$$ Alors la suite $(a_n)$ définie par $a_n=10^n (x_n-x_{n-1})$ donne un développement décimal de x.
- si $x$ n'est pas décimal, alors il admet un unique développement décimal. Si $x$ est un nombre décimal, il admet exactement deux développement décimaux.
Le premier, donné par le procédé précédent, est tel que tous les $a_n$ sont nuls à partir d'un certain rang. Ce
développement est appelé développement décimal propre de $x$. Le second est obtenu à partir du premier : si $N$ désigne le plus grand entier tel que $a_N\neq 0$, alors en remplaçant $a_N$ par $a_{N}-1$, et en terminant par des 9, on obtient un autre développement décimal de $x$. Ce développement est appelé
développement décimal impropre de $x$. Par exemple, 1 admet les deux développements décimaux suivants :
- un nombre $x$ est rationnel si et seulement si son développement décimal (propre) est périodique (à partir d'un certain rang).

0,999999999.....=1
La réponse est oui! Le moyen le plus facile pour justifier cette propriété est d'écrire que
0,333333333.....=1/3
et de tout multiplier par 3!
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