Décomposition de Dunford-Jordan
Théorème : Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie
dont le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb K$. Alors il existe un unique couple $(d,n)$ d'endomorphismes de $E$ tels que :
De plus, $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$, et le polynôme minimal de $d$ divise celui de $u.$
- $u=d+n$.
- $d$ et $n$ commutent.
- $d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent (c'est-à-dire qu'il existe $k\in\mathbb N^*$ tel que $n^k=0).$
La réciproque du théorème précédent est vraie. Si $u$ s'écrit $u=d+n$, avec $d$ diagonalisable, $n$ nilpotent, et $d\circ n=n\circ d$, alors le polynôme caractéristique de $u$ est scindé.
La décomposition de Dunford-Jordan est une réduction plus poussée que la simple trigonalisation. Elle est notamment utile pour calculer l'exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice. Il existe encore une réduction plus poussée, la réduction de Jordan.
Le théorème précédent s'applique en particulier à tout endomorphisme d'un $\mathbb C$-espace vectoriel, puisque son polynôme caractéristique est scindé. Si ce n'est pas le cas, on a toujours un théorème de réduction en remplaçant endomorphisme diagonalisable par endomorphisme semi-simple.
Théorème : Soit $\mathbb K$ un corps parfait et $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Alors il existe un unique couple $(d,n)$ d'endomorphismes de $E$ tels que :
De plus, $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ et le polynôme minimal de $d$ divise celui de $u.$
- $u=d+n$.
- $d$ et $n$ commutent.
- $d$ est semi-simple et $n$ est nilpotent.

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