Dualité en algèbre linéaire
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel. On appelle dual de $E$ l'ensemble des formes linéaires de $E$ à valeurs dans $K$. On le note en général $E^*$. $E^*$ est lui-même un espace vectoriel, de même dimension que $E$ si $E$ est de dimension finie.
Certaines bases de $E^*$ jouent un rôle particulier. Prenons $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$. On note $u_i$ la forme linéaire définie par $u_i(x)$ est le coefficient devant $e_i$ dans la décomposition de $x$ dans la base $(e_1,\dots,e_n)$. Ainsi, tout $x$ s'écrit $x=u_1(x)e_1+\cdots+u_n(x)e_n$. On a alors la proposition suivante :
Proposition : $(u_1,\dots,u_n)$ est une base de $E^*$. On l'appelle base
duale de $(e_1,\dots,e_n)$.
On peut aussi faire le chemin dans l'autre sens, c'est-à-dire fabriquer une base de $E$ connaissant une base de $E^*$ :
Proposition : Soit $(u_1,\dots,u_n)$ une base de $E^*$. Alors il existe une unique base
$(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ dont $(u_1,\dots,u_n)$ soit la base duale. Dans ce cas,
$(e_1,\dots,e_n)$ s'appelle base antéduale de $(u_1,\dots,u_n)$.
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