Problème d'Euler de la division des polygones

De combien de façons peut-on diviser un polygone convexe à $n$ côtés en triangles en le coupant par ses diagonales? C'est cette question, d'apparence anodine, que Leonhard Euler posa en 1751 à Christian Goldbach. Pour de petites valeurs de $n$, il est facile de réaliser ce calcul. Par exemple, il y a 5 façons différentes de partager un pentagone en triangles :

Euler apporta une réponse générale à ce problème en affirmant que, si $P_n$ désigne ce nombre, alors $$P_n=\frac{2\cdot 6\cdot 10\cdots (4n-10)}{(n-1)!}.$$ Malheureusement, Euler ne donna pas de preuve de cette formule, et au contraire affirma que "le procédé de récurrence que j'ai employé était tout à fait laborieux". Johann Segner trouva en 1758 une formule de récurrence pour $P_n$, de la forme $$P_n=P_2P_{n-1}+P_3P_{n-2}+\cdots+P_{n-1}P_2.$$ On constate alors que l'on a $P_n=C_{n-1}$, où $C_n$ est le $n$-ième nombre de Catalan, qui permet de dénombrer le nombre de façons de parenthéser une expression comprenant $n$ termes.