Distance
On considère un ensemble $E$. On appelle distance sur E une application $d:E\times E\to\mathbb R_+$ vérifiant les 3 propriétés suivantes :
- $d(x,y)=d(y,x)$, quels que soient $x$ et $y$ de $E$ (on dit que la distance est symétrique).
- $d(x,y)=0$ si et seulement si $x=y$
- $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$, quels que soient $x$, $y$ et $z$ de $E$ (c'est l'inégalité triangulaire).
$(E,d)$ s'appelle alors un espace métrique.
Exemples :
- Sur $\mathbb R$, l'application qui à deux nombres $x$ et $y$ associe la valeur absolue de leur différence $|x-y|$ est une distance.
- Sur $\mathbb R^2$, nous allons définir 3 distances que l'on utilise de façon usuelle. Nous noterons $M_1=(x_1,y_1)$ et $M_2=(x_2,y_2)$.
- La distance dite de la norme 1, définie par : $$d_1(M_1,M_2)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$$ C'est en quelque sorte la généralisation la plus immédiate de la valeur absolue sur $\mathbb R$.
- La distance euclidienne : $$d_2(M_1,M_2)=\sqrt{|x_1-x_2|^2+|y_1-y_2|^2}.$$ C'est la distance usuelle que l'on utilise dans le plan.
- La distance dite de la norme sup : $$d_\infty(M_1,M_2)=\sup (|x_1-x_2|,|y_1-y_2|).$$
Les distances définies ci-dessus sont assez particulières, au sens qu'elles sont définies sur des espaces vectoriels et proviennent en fait de normes. En voici une qui n'est pas ainsi : sur $\mathbb R$, on définit $d(x,y)=\arctan|x-y|$. On vérifie sans problème les 3 axiomes. L'intérêt de cette distance vient du fait qu'on peut continuer à la définir, moyennant un passage à la limite, sur $\mathbb R$ muni des 2 points moins l'infini et plus l'infini. Ceci permet de définir de façon métrique la topologie de la droite réelle achevée.
Soit $(E,d)$ un espace métrique. Si $x$ est un point de $E$, et $A$ est une partie de $E$, alors la distance de $x$ à $A$ est la borne inférieure des distances de $x$ à $y$ lorsque $y$ appartient à $A$ : $$d(x,A)=\inf\{d(x,y);\ y\in A\}.$$
Exemple : Si $A=[0,1[$, et $x=2$, $d(x,A)=1$.
On peut avoir $d(x,A)=0$ sans que $x$ ne soit élément de $A$. C'est par exemple le cas si $E=\mathbb R$, muni de la distance donnée par la valeur absolue, si $x=1$, et si $A=[0,1[$. En fait, on a l'équivalence : $d(x,A)=0$ si et seulement si $x$ appartient à l'adhérence de $A$.
Si maintenant $A$ et $B$ sont deux parties de E, la distance de $A$ à $B$ est la borne inférieure des distances de $x$ à $y$, où $x$ décrit $A$, et $y$ décrit $B$.
Exemple : Pour $A=[0,1[$ et $B=[2,9]$, et $d$ la distance associée à la valeur absolue, $d(A,B)=1$.
On dispose de formules pour calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan. Ainsi, si $\mathcal D$ est la droite d'équation $ax+by+c=0$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ et si $M_0(x_0,y_0)$ est un point du plan, alors $$d(M,\mathcal D)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ De la même façon, si $\mathcal P$ est le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ et si $M_0(x_0,y_0,z_0)$ est un point de l'espace, alors $$d(M,\mathcal P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$