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Théorèmes de Dini

Les théorèmes de Dini sont des théorèmes puissants pour prouver la convergence uniforme d'une suite de fonctions quand on ne connait que sa convergence simple.

Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un segment $I=[a,b]\subset\mathbb R$, à valeurs dans $\mathbb R$, et soit $f:I\to\mathbb R$ continue.
  • On suppose que la suite $(f_n)$ est une suite croissante et que chaque $f_n$ est continue. Si $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$, alors la convergence est en fait uniforme.
  • On suppose que chaque fonction $f_n$ est croissante. Si $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$, alors la convergence est en fait uniforme.

Dans le premier point du théorème, on peut remplacer $I$ par un espace compact, et suite croissante par suite monotone, mais il faut prendre garde que l'on suppose que chaque $f_n$ est continue, ce qui n'est pas le cas dans le second point.

Application 1 : Soit $a>0$. On considère la suite de fonctions $(f_n)$ définie par $f_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$ pour tout $x\in [-a,a]$. Alors il est facile de vérifier que $(f_n)$ converge simplement vers $\exp$ sur $[-a,a]$. De plus, puisque $f_n'(x)=\left(1+\frac xn\right)^{n-1}\geq 0$ sur $[-a,a]$ dès que $n$ est assez grand, les fonctions $(f_n)$ sont croissantes. Donc $(f_n)$ converge uniformément vers $\exp$ sur $[-a,a]$.

Application 2 : Soit $(P_n)$ la suite de fonctions polynomiales définies sur $[0,1]$ par $P_0(t)=0$ pour tout $t\in[0,1]$ et pour $n\in\mathbb N$ et $t\in[0,1]$, $$P_{n+1}(t)=P_n(t)+\frac12(t-P_n^2(t)).$$ On démontre facilement par récurrence que $0\leq P_n(t)\leq \sqrt t$ pour tout $t\in[0,1]$. On en déduit que la suite $(P_n)$ est une suite croissante de fonctions. Comme chaque suite $(P_n(t))$ est majorée par $\sqrt t$, cette suite est convergente et en passant à la limite dans la formule de récurrence, on démontre que sa limite est $\sqrt t$. Ainsi, la suite $(P_n)$ converge simplement vers $\sqrt t$ sur $[0,1]$. Comme c'est une suite croissante, la convergence est en fait uniforme sur $[0,1]$.

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