$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dimension topologique

Un espace métrique compact $(X,d)$ est dit de dimension topologique (ou dimension de recouvrement) inférieure ou égale à $n$ si pour tout réel $r>0,$ $X$ admet un recouvrement ouvert fini $(U_i)_{i=1,\dots,p}$ tel que

  1. $\textrm{diam}(U_i)<r$ pour tout $i=1,\dots,p.$
  2. tout $x\in X$ appartient au plus à $(n+1)$ des $U_i$.

X est dit de dimension topologique exactement égale à n s'il est de dimension inférieure ou égale à $n$, mais pas de dimension inférieure ou égale à $n-1.$

Exemples :

  • L'intervalle $[0,1]$ est de dimension $1$. En effet, pour tout $r>0,$ on peut choisir $N$ tel que $\frac 2N<r.$ Les ouverts $U_i=](i-1)/N;(i+1)/N[$ pour $i=0,\dots,N$ recouvrent $X$ et se coupent au plus deux à deux. Donc $\dim([0,1])\leq 1.$ La dimension de $[0,1]$ n'est pas nulle car $[0,1]$ est connexe et non réduit à un point.
  • Plus généralement, la boule unité d'un espace vectoriel normé de dimension algébrique $n$ est de dimension topologique $n$.
  • L'ensembre de Cantor est de dimension zéro. Pour tout $r>0,$ on peut le recouvrir par des ouverts $U_i$> de diamètre $<r$ et deux à deux disjoints.
Une définition proposée par Benoit Manderbrojt d'objet fractal était : un objet fractal est un espace métrique compact dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff. Cette définition ne satisfait pas les experts aujourd'hui car elle laisse échapper des objets qu'on aimerait qualifier de "fractal".
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