Dimension topologique
Un espace métrique compact $(X,d)$ est dit de dimension topologique (ou dimension de recouvrement) inférieure ou égale à $n$ si pour tout réel $r>0,$ $X$ admet un recouvrement ouvert fini $(U_i)_{i=1,\dots,p}$ tel que
- $\textrm{diam}(U_i)<r$ pour tout $i=1,\dots,p.$
- tout $x\in X$ appartient au plus à $(n+1)$ des $U_i$.
X est dit de dimension topologique exactement égale à n s'il est de dimension inférieure ou égale à $n$, mais pas de dimension inférieure ou égale à $n-1.$
Exemples :
- L'intervalle $[0,1]$ est de dimension $1$. En effet, pour tout $r>0,$ on peut choisir $N$ tel que $\frac 2N<r.$ Les ouverts $U_i=](i-1)/N;(i+1)/N[$ pour $i=0,\dots,N$ recouvrent $X$ et se coupent au plus deux à deux. Donc $\dim([0,1])\leq 1.$ La dimension de $[0,1]$ n'est pas nulle car $[0,1]$ est connexe et non réduit à un point.
- Plus généralement, la boule unité d'un espace vectoriel normé de dimension algébrique $n$ est de dimension topologique $n$.
- L'ensembre de Cantor est de dimension zéro. Pour tout $r>0,$ on peut le recouvrir par des ouverts $U_i$> de diamètre $<r$ et deux à deux disjoints.

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