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Dimension de Hausdorff-Besicovitch

Soit $(X,d)$ un espace métrique séparable, $E$ une partie de X et $s>0.$ On appelle $s$-mesure de Hausdorff de $E$ le réel $$H^s(E)=\sup_{\varepsilon>0}H^s_{\varepsilon}(E)$$ où $$\displaystyle H^s_{\varepsilon}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{+\infty} \big(\diam(B_i)\big)^s:\ E\subset\bigcup_{i=1}^{+\infty} B_i\right\}$$ les $B_i$ étant des boules fermées de diamètre inférieur ou égal à $\varepsilon$.

Le réel $H^s_{\varepsilon}(E)$ donne une idée de la taille de $E$ à l'échelle $\varepsilon$ avec une analyse fine de la dispersion locale : un point isolé peut être recouvert par une boule de rayon arbitrairement petit et compte donc pour 0.

La $s$-mesure de Hausdorff vérifie les propriétés suivantes : si $0<s<t,$ alors

  • $H^s(E)<+\infty\implies H^t(E)=0$
  • $H^t(E)>0\implies H^s(E)=+\infty.$

Ces propriétés justifient la définition suivante:

Définition : On appelle dimension de Hausdorff-Besicovitch de $E,$ noté $\dim_H(E),$ le réel $$\dim_H(E)=\inf\{s>0:\ H^s(E)=0\}=\sup\{s>0:\ H^s(E)=+\infty\}.$$

Bien sûr, la dimension de Hausdorff a une définition assez délicate, et il est parfois difficile de la calculer. Toutefois, il y a un cas particulier intéressant, celui des compacts auto-similaires. On dit qu'une partie compacte $K$ de $\mathbb R^n$ est auto-similaire s'il existe des similitudes $s_1,\dots,s_N$ de $\mathbb R^n,$ avec $N>1,$ de rapport $r_1,\dots,r_N$ inférieur strict à 1, tels que $$K=s_1(K)\cup\cdots s_N(K).$$ La dimension d'auto-similarité de $K$ est alors l'unique réel $s$ tel que $$r_1^s+\cdots+r_N^s=1.$$ Si $K$ vérifie en outre la condition technique suivante : il existe un ouvert borné non vide $O$ tel que $s_i(O)\subset O$ et $s_i(O)\cap s_j(O)=\varnothing$ si $i\neq j,$ alors la dimension de Hausdorff de $K$ est égale à sa dimension d'auto-similarité. Ceci permet de calculer la dimension de Hausdorff de nombreux objets fractals, comme par exemples les ensembles de Cantor.

Une définition proposée par Benoit Manderbrojt d'objet fractal était : un objet fractal est un espace métrique compact dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff. Cette définition ne satisfait pas les experts aujourd'hui car elle laisse échapper des objets qu'on aimerait qualifier de "fractal".
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