Fonction différentiable
La notion de fonction différentiable est la généralisation aux fonctions de plusieurs variables de la notion de fonction dérivable d'une variable réelle. Bien sûr, on ne peut pas transposer directement la définition utilisant le taux d'accroissement (impossible de diviser par un vecteur!). C'est la caractérisation de la dérivabilité en terme d'existence de développement limité d'ordre 1 qui se généralise en dimension quelconque.
Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$, à valeurs dans $\mathbb R^p$ et soit $a$ un point de $U$. On dit que $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $L$ de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^p$ telle que $$f(a+h)=_0f(a)+L(h)+o(\|h\|).$$ L'application $L$, si elle existe, est unique et s'appelle différentielle de $f$ en $a$, ou application linéaire tangente de $f$ en $a$. On la note $df_a$ ou $df(a).$
On dit que $f$ est continûment différentiable sur $U$, ou de classe $C^1$ si $f$ est différentiable en tout point de $U$ et si l'application qui à $a$ associe $df_a$ est continue.
Si $n=p=1$, une application linéaire de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est simplement une homothétie et il existe donc un réel $c$ tel que $L(h)=ch$. Ainsi $f$ est différentiable en $a$ si et seulement s'il existe un réel $c$ tel que $$f(a+h)=f(a)+c\cdot h+o(h).$$ On reconnait la caractérisation d'une fonction dérivable avec $c=f'(a).$ Ainsi, pour les fonctions d'une variable réelle, $f$ est dérivable si et seulement si $f$ est différentiable.
- combinaison linéaire : si $f$ et $g$ sont différentiables en $a$ et $\lambda\in\mathbb R$, alors $\lambda f+g$ est différentiable en $a$ et $d(\lambda f+g)_a=\lambda df_a+dg_a.$
- composition : si $f$ est différentiable en $a$ et $g$ est différentiable en $f(a)$, alors $g\circ f$ est différentiable en $a$ et $$d(g\circ f)_a=dg_{f(a)}\circ df_a.$$
Une autre idée naturelle pour généraliser la notion de dérivabilité est celle de dérivée partielle ou même de dérivée suivant un vecteur. Elle est inefficace car il existe des fonctions admettant des dérivées partielles en un point qui ne sont même pas continues en ce point. En revanche, on a le résultat suivant :
- Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $\mathbb R^p$. Si toutes les dérivées partielles de $f$ existent sur $U$ et si elles sont continues en un point $a$ de $U$, alors $f$ est différentiable en $a$ et on a $$df_a(h)=\sum_{i=1}^n h_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(a).$$
- $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $U$ si et seulement si les dérivées partielles de $f$ sur $U$ existent et sont continues.
Le sens direct est toujours vrai : si $f$ est différentiable en $a$, $f$ admet des dérivées partielles en $a$ et $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=df_a(e_i).$
- application linéaire : si $f$ est une application linéaire de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^p$ (donc $f$ est automatiquement continue), elle est différentiable et $df=f.$
- application bilinéaire : si $f$ est une application bilinéaire de $\mathbb R^n ×\mathbb R^p$ dans $\mathbb R^q,$ elle est différentiable en tout point $a=(a_1,a_2)$ et sa différentielle est donnée par $$df_a(h_1,h_2)=f(h_1,a_2)+f(a_1,h_2).$$
- inverse d'une matrice : soit $f$ définie sur $GL_n(\mathbb R)$ par $M\mapsto M^{-1}$. Alors $f$ est différentiable sur $GL_n(\mathbb R)$ et $$df_M(H)=-M^{-1}HM^{-1}.$$
- déterminant : le déterminant est différentiable sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $$d(det)_M(H)=\textrm{Tr}(\textrm{comat}(M)^T H).$$
- exponentielle : l'exponentielle est différentiable sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$ et on a : $$d(\exp)_0(H)=H.$$ Plus généralement, on a $$d(\exp)_M(H)=\sum_{p=1}^{+\infty}\frac 1{p!}\left(M^{p-1}H+M^{p-2}HM+\cdots+HM^{p-1}\right).$$
La notion de fonction différentiable s'étend aux fonctions définies sur un ouvert $U$ d'un espace vectoriel normé $E$ à valeurs
dans un espace vectoriel normé $F.$ Cependant, certains énoncés classiques
du calcul différentiel (comme le théorème d'inversion locale par exemple) nécessitent l'hypothèse que l'on travaille
avec des espaces de Banach.