Différences divisées et interpolation de Newton
Les différences divisées sont une méthode de discrétisation des dérivées successives d'une fonction. Si $(x_0,y_0),$ $(x_1,y_1),\dots,$ $(x_n,y_n)$ sont $(n+1)$ points d'abscisses distinctes, les différences divisées successives sont définies par \begin{align*} [y_k]&=y_k,\ k=0,\dots,n\\ [y_k,\dots,y_{k+j}]&=\frac{[y_{k+1},\dots,y_{k+j}]-[y_k,\dots,y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_k},\ k=0,\dots,n-1,\ j=1,\dots,n-k. \end{align*} Le plus souvent, $y_j=f(x_j)$ pour une certaine fonction $f$ et on note $f[x_0,\dots,x_n]$ la différence divisée $[y_0,\dots,y_n]$.
La notion de différence divisée est utilisée notamment pour donner la forme dite de Newton du polynôme d'interpolation de Lagrange.
Théorème :
Soit $(x_0,y_0),$ $(x_1,y_1),\dots,$ $(x_n,y_n)$ $(n+1)$ points d'abscisses distinctes.
Alors l'unique polynôme $L$ de degré inférieur ou égal à $n$ et vérifiant $L(x_k)=y_k$
pour tout $k=0,\dots,n$ est
$$L(x)=[y_0]+[y_0,y_1](x-x_0)+\cdots+[y_0,\dots,y_n](x-x_0)\cdots(x-x_{n-1}).$$
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique