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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Fonctions de plusieurs variables >

Difféomorphisme

Soit $U$ et $V$ deux ouverts de $\mathbb R^n,$ $f$ une fonction de $U$ dans $V$ et $k\in\mathbb N^*.$ On dit que $f$ est un $\mathcal C^k$-difféomorphisme si $f$ est bijective et si $f$ et $f^{-1}$ sont de classe $C^k$. On emploie souvent le terme difféomorphisme pour parler de $\mathcal C^1$-difféomorphisme.

Théorème : Soit $I,J$ deux intervalles et $f:I\to J$ bijective et de classe $\mathcal C^k$. Alors $f$ est un difféomorphisme si $f'$ ne s'annule pas.
Théorème : Soit $U,V$ deux ouverts de $\mathbb R^n$ et $f:U\to V$ bijective et de classe $\mathcal C^k$. Alors $f$ est un $\mathcal C^k$-difféomorphisme si et seulement si, pour tout $x\in U,$ sa différentielle $df(x)$ est inversible.

Dans ce dernier théorème, cela revient à dire que le déterminant jacobien de $f$ ne s'annule pas.

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