Endomorphisme (ou matrice) diagonalisable
Une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ et $D\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice diagonale telle que $A=PDP^{-1}.$
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme $u$ de $E$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$, c'est-à-dire s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale. Ceci revient à dire que la matrice de $u$ dans n'importe quelle base de $E$ est diagonalisable.
On a le théorème important suivant concernant les endomorphismes diagonalisables (avec bien entendu un énoncé tout à fait similaire pour les matrices).
- $u$ est diagonalisable.
- $E$ est somme directe des sous-espaces propres de $u$.
- La dimension de $E$ est la somme des dimensions des sous-espaces propres de $u$.
- Le polynôme caractéristique $C_u$ de $u$ est scindé sur $K$ et si $a$ est une racine de $C_u$, alors sa multiplicité en tant que racine de $C_u$ vaut la dimension du sous-espace propre correspondant.
- Il existe $P\in K[X]$ non nul scindé à racines simples tel que $P(u)=0$.
- Le polynôme minimal de $u$ est scindé à racines simples.
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice diagonalisable. Diagonaliser $A,$ c'est trouver une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telle que $A=PDP^{-1}$.
On procède en plusieurs étapes.
- On calcule le polynôme caractéristique de $A$, $C_A(X)=\det(XI_n-A)$.
- On factorise ce polynôme afin trouver les valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_p$.
- Pour chaque valeur propre $\lambda_i$, on trouve une base du sous-espace propre correspondant en résolvant l'équation $AX=\lambda_i X.$
- Si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre comme racine de $C_A$, alors la matrice est diagonalisable, et une base de vecteurs propres est donnée en prenant la réunion des bases trouvées pour chaque sous-espace propre.
Pour $n\geq 2$ et $K=\mathbb R$ ou $\mathbb C,$ on note $D_n(K)$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal M_n(K)$ et $D_n'(K)$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal M_n(K)$ ayant des valeurs propres distinctes.
- $D_n'(\mathbb C)$ est un ouvert de $\mathcal M_n(\mathbb C).$
- L'intérieur de $D_n(\mathbb C)$ est $D_n'(\mathbb C).$
- $D_n(\mathbb C)$ et $D_n'(\mathbb C)$ sont denses dans $\mathcal M_n(\mathbb C).$
- $D_n(\mathbb R)$ est un connexe par arc de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, et $D_n(\mathbb C)$ est un connexe par arcs de $\mathcal M_n(\mathbb C).$
En revanche, $D_n(\mathbb R)$ n'est pas dense dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$.