Déterminant de Cauchy

Soit $(a_i)_{1\leq i\leq n}$ et $(b_j)_{1\leq j\leq n}$ des nombres complexes tels que, pour tous $1\leq i,j\leq n$, on a $a_i+b_j\neq 0.$ On appelle déterminant de Cauchy associé à $(a_i)_{1\leq i\leq n}$ et $(b_j)_{1\leq j\leq n}$ le déterminant suivant : $$D=\left| \begin{array}{cccc} \displaystyle\frac{1}{a_1+b_1}&\displaystyle\frac{1}{a_1+b_2}&\dots&\displaystyle\frac{1}{a_1+b_n}\\ \displaystyle\frac{1}{a_2+b_1}&\displaystyle\frac{1}{a_2+b_2}&\dots&\displaystyle\frac{1}{a_2+b_n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \displaystyle\frac{1}{a_n+b_1}&\displaystyle\frac{1}{a_n+b_2}&\dots&\displaystyle\frac{1}{a_n+b_n}\\ \end{array}\right|.$$ Il vaut : $$D=\frac{\prod_{i<j} (a_j-a_i)\prod_{i<j }(b_j-b_i)}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(a_i+b_j)}.$$