Densité arithmétique
Soit $A$ une partie de $\mathbb N$. On appelle densité arithmétique de $A$ la quantité $$d(A)=\lim_{N\to+\infty}\frac{\textrm{card}(A\cap \{1,\dots,N\})}N$$ si elle existe. La densité arithmétique mesure donc la proportion des entiers qui sont dans A par rapport à tous les entiers.
Ex :
- Soit $A$ l'ensemble des nombres pairs. Alors $d(A)=1/2$, ce qui traduit l'heuristique : un nombre sur deux est pair.
- Soit $\mathcal P$ l'ensemble des nombres premiers. D'après le théorème de Hadamard, De la Vallée Poussin, $$\textrm{carp}(\mathcal P\cap\{1,\dots,N\})\sim\frac N{\log N}.$$ On en déduit que $d(P)=0$. Même s'il y a beaucoup de nombres premiers, ils sont relativement rares dans l'ensemble des nombres entiers!
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