Partie dense
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $D$ une partie de $E.$ On dit que $D$ est dense dans $E$ si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :
- pour tout $x\in E$, il existe une suite $(y_n)$ d'éléments de $D$ qui converge vers $x$.
- pour tout $x\in E$, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $y\in D$ avec $\|y-x\|\leq \varepsilon.$
- l'adhérence $\bar D$ de $D$ est égale à $E$.
Ces définitions peuvent être généralisées au cas des espaces métriques (en remplaçant la norme par la distance), et la dernière peut même l'être aux espaces topologiques généraux.
Exemples :
- l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb Q$ est dense dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$. C'est aussi le cas de l'ensemble des nombres irrationnels $\mathbb R\backslash\mathbb Q$ et des nombres décimaux $\mathbb D$.
- l'ensemble des matrices inversibles $GL_n(\mathbb K)$ est dense dans l'espace des matrices $\mathcal M_n(\mathbb K)$.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique