$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Ensemble dénombrable

Un ensemble $E$ est dit dénombrable s'il existe une bijection de $E$ sur $\mathbb N.$ De façon plus figurée, un ensemble est dénombrable si l'on peut énumérer ses éléments : son premier élément est ..., son deuxième est ...

Exemples et contre-exemple :

  • L'ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$ est dénombrable. Pour cela, on considère $f:\mathbb Z\to\mathbb N$ telle que $f(n)=2n$ si $n\geq 0$ et $f(n)=-(2n+1)$ si $n<0$ et on vérifie que $f$ est une bijection de $\mathbb Z$ sur $\mathbb N.$
  • L'ensemble des nombres rationnels $\mathbb Q$ est dénombrable. Comme il s'injecte dans $\mathbb N\times \mathbb Z,$ il suffit de montrer que ce dernier ensemble est dénombrable, ou $\mathbb Z$ étant dénombrable, de montrer que $\mathbb N\times \mathbb N$ est dénombrable. Pour cela, on écrit les éléments de $\mathbb N\times\mathbb N$ dans un tableau que l'on parcourt en diagonale :

       1   2   3   4   ... 

     1

     1

     3

     6

     10 

     ... 

     2

     2

     5

     9

     3

     4

     8

     4

     7
    $\vdots$
    $\vdots$

  • Plus généralement, un produit fini d'espaces dénombrables est dénombrable, une réunion finie ou dénombrable d'espaces finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
  • $\mathbb R$ n'est pas dénombrable. Il suffit de montrer que le segment $[0,1[$ ne l'est pas. Pour cela, on applique une méthode connue sous le nom de procédé diagonal de Cantor.
    On procède par l'absurde et on suppose que $[0,1[$ est dénombrable. Il existe donc une suite $(x_n)$ d'éléments de $[0,1[$ telle que $[0,1[=\{x_n:\ n\geq 1\}.$ On écrit chaque $x_n$ en écriture décimale propre : $$x_n=0,\! a_{1}(n)a_2(n)\cdots a_k(n)\cdots.$$ Pour tout entier $n\geq 1$, on choisit un entier $a_n\in\{0,\dots,8\}$ tel que $a_n\neq a_{n}(n)$ (c'est-à-dire que $a_n$ est différent du $n$-ème chiffre après la virgule de $x_n$). On considère alors le réel $$x=a_1a_2\cdots a_n.$$ Alors $x$ est bien dans $[0,1[,$ et il est différent de tous les $x_n$ puisque son $n$-ème chiffre après la virgule est différent de $x_n$ : il y a une contradiction avec le fait que $[0,1[=\{x_n:\ n\geq 1\}$ et donc $[0,1[$ n'est pas dénombrable.
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