Degré d'un polynôme et d'une fraction rationnelle

Un polynôme non nul s'écrit toujours de manière unique sous la forme $a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$, avec $a_n$ non nul. On dit que $n$ est le degré du polynôme $P.$ Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty.$

Si $F=A/B$ est une fraction rationnelle, alors le degré de $F$ est défini par $$\deg(F)=\deg(A)-\deg(B).$$ Cette définition ne dépend pas du représentant choisi pour la fraction rationnelle, c'est-à-dire que si $A/B=C/D,$ alors $\deg(A)-\deg(B)=\deg(C)-\deg(D).$

Soit $\mathbb K$ un corps, $n\geq 1$ et $P\in \mathbb K[X_1,\dots,X_n]$ un polynôme en $n$ indéterminées non nul. Il s'écrit de façon unique $$P=\sum_{(i_1,\dots,i_n)\in I}a_i X_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}$$ où $I\subset \mathbb N^n$ et $a_i\in\mathbb K\backslash\{0\}.$ Alors on appelle degré total de $P$ l'entier $p=\max(i_1+\cdots+i_n:\ i\in I).$ Si $P=0$, alors on dit que son degré total est $-\infty.$

Pour $P\in \mathbb K[X_1,\dots,X_n]$ et $k\in\{1,\dots,n\},$ on appelle degré partiel en $X_k$ de $P$ le degré de $P$ vu comme polynôme de $A[X_k]$, où $A=\mathbb K[X_1,\dots,X_{k-1},X_{k+1},\dots,X_n].$ C'est donc, si elle existe, la plus grande puissance de $X_k$ qui apparaît dans son écriture $P=\sum_{(i_1,\dots,i_n)\in I}a_i X_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}$ (sinon, son degré partiel en $X_k$ est $-\infty$).