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Décomposition polaire

Théorème (décomposition polaire) : Toute matrice inversible $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ s'écrit de façon unique $M=OS$, où $O$ est une matrice orthogonale et $S$ une matrice symétrique définie positive. De plus, l'application $$\begin{array}{rcl} O_n(\mathbb R)\times S_n^{++}(\mathbb R)&\to& GL_n(\mathbb R)\\ (O,S)&\mapsto& OS \end{array} $$ est un difféomorphisme.

On a bien sûr un résultat identique si on parle des endomorphismes inversibles d'un espace euclidien $E$, qui s'écrivent de façon unique comme la composée d'un endomorphisme orthogonal et d'un endomorphisme symétrique défini positif. Pour les matrices à coefficients complexes, la décomposition polaire reste vraie en remplaçant le groupe orthogonal par le groupe unitaire et les matrices symétriques par les matrices hermitiennes.

Lorsque la matrice $M$ n'est plus supposée inversible, on peut toujours l'écrire sous la forme $M=OS$, où $O$ est orthogonale, et où $S$ est symétrique positive (ce qui est moins fort que symétrique définie positive). De plus, dans ce cadre, on perd l'unicité de la décomposition. En particulier, l'application $$\begin{array}{rcl} O_n(\mathbb R)\times S_n^{+}(\mathbb R)&\to& \mathcal M_n(\mathbb R)\\ (O,S)&\mapsto& OS \end{array} $$ est surjective, mais non injective.

On peut expliciter les matrices $O$ et $S$ qui apparaissent dans la décomposition polaire : \begin{align*} O&=(MM^T)^{-1/2}M\\ S&=(MM^T)^{1/2} \end{align*} Sous cette forme, on reconnait une analogie forte avec l'écriture sous forme exponentielle d'un nombre complexe.

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