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Décomposition QR

Si $A$ est une matrice carrée (réelle) de taille $n$ inversible, alors il existe une unique matrice orthogonale $Q$ et une unique matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs $R$ telle que $$A=QR.$$ Cette factorisation s'appelle la décomposition QR de la matrice $A$, ou encore sa décomposition d'Iwasawa. Si la matrice $A$ n'est pas inversible, elle peut toujours se décomposer sous la forme $A=QR$, mais cette fois on ne peut plus demander que les coefficients diagonaux de $R$ soient strictement positifs ni que la décomposition soit unique.

La décomposition $QR$ peut être utile pour des problèmes liés à la norme des vecteurs colonnes de $A.$ Par exemple, à l'aide de cette décomposition, on peut prouver que $$|\det(A)|\leq \|C_1\|\times\cdots\times \|C_n\|$$ où $C_j$ est la $j$-ème colonne de $A$ et $\|\cdot\|$ est la norme euclidienne.

Si $A$ est une matrice carrée inversible à coefficients complexes, une factorisation $QR$ existe également, avec cette fois la matrice $Q$ unitaire.

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