Décomposition LU
Si $A$ est une matrice carrée de taille $n$, on appelle décomposition LU de $A$ toute écriture de $A$ sous la forme $A=LU$, où $L$ est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et $U$ est une matrice triangulaire supérieure. Plus généralement, on dit que $A$ admet une décomposition $PLU$ si $A=PLU$ où $P$ est une matrice de permutation, $L$ est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et $U$ est une matrice triangulaire supérieure.
On a les propriétés suivantes :
- toute matrice carrée $A$ admet une décomposition PLU.
- Une matrice inversible $A$ admet une décomposition LU si, et seulement si, ses mineurs principaux sont non nuls (rappelons que pour $k=1,\dots,n,$ le mineur principal d'ordre $k$ de $A$ désigne le déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$ en extrayant les $k$ premières lignes et colonnes).
- Si $A$ est inversible et admet une décomposition LU, alors celle-ci est unique.
Obtenir une décomposition LU d'une matrice $A$ est important lorsqu'on souhaite résoudre plusieurs fois à la suite des systèmes linéaires du type $Y=AX$. Il suffit alors en effet de résoudre deux systèmes triangulaires.
L signifie "Lower", et U signifie "Upper".
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