Décomposition en facteurs irréductibles
La décomposition en facteurs irréductibles est l'analogue, pour les polynômes, de la décomposition en facteurs premiers pour les nombres entiers. On fixe $\mathbb K$ un corps.
Théorème :
Tout polynôme $P\in\mathbb K[X]$ non nul s'écrit sous la forme
$$P=\lambda P_1\cdots P_r$$
où $\lambda\in \mathbb K$ et où les $P_i$ sont des polynômes irréductibles et unitaires de $\mathbb K[X]$.
De plus, cette décomposition est unique à l'ordre des termes près.
Puisque dans $\mathbb C[X]$, les polynômes irréductibles sont exactement les polynômes de degré 1 et que, dans $\mathbb R[X]$, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif, on en déduit les corollaires suivants :
- Tout polynôme $P\in\mathbb C[X]$ non nul s'écrit de façon unique sous la forme $$P(X)=\lambda \prod_{k=1}^r (X-z_k)^{m_k}$$ où les $z_1,\dots,z_r$ sont les racines distinctes de $P$ de multiplicité respective $m_1,\dots,m_r$.
- Tout polynôme $P\in\mathbb R[X]$ non nul s'écrit de façon unique sous la forme $$P(X)=\lambda \prod_{k=1}^r (X-x_k)^{m_k}\prod_{j=1}^s (X^2+a_j X+b_j)^{s_j}$$ où les $z_1,\dots,z_r$ sont les racines distinctes de $P$ de multiplicité respective $m_1,\dots,m_r$ et où pour tout $j=1,\dots,s$, on a $a_j^2-4b_j<0$.
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