Sommes de Darboux
Définition : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction bornée et $ s:a=x_0<x_1<...<x_n=b $ une subdivision de
$[a,b]$. Pour tout $i$ de $\{1,…,n\}$, on pose
$$m_i=\inf_{t\in[x_{i-1},x_i]}f(t)\textrm{ et }M_i=\sup_{t\in[x_{i-1},x_i]}f(t).$$
Les réels
$$d(f,s)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})m_i\textrm{ et }D(f,s)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})M_i$$
sont appelés sommes de Darboux inférieure et supérieure de $f$ pour la subdivision $s.$
Ces sommes ont été introduites par Gaston Darboux pour donner un critère pour qu'une fonction soit Riemann-intégrable. Posons en effet $$\left\{ \begin{array}{rcl} d(f)&=&\sup\left\{d(f,s);\ s\textrm{ subdivision de }[a,b]\right\}\\ D(f)&=&\inf\left\{D(f,s);\ s\textrm{ subdivision de }[a,b]\right\}. \end{array}\right.$$ Alors une fonction réelle bornée $f$ sur [a,b] est Riemann-intégrable si et seulement si $d(f)=D(f)$. Dans ce cas, le réel commun est aussi l'intégrale de $f$ sur [a,b].
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