Repère de Darboux

On considère une nappe paramétrée $(u,v)\mapsto M(u,v)$ de classe $\mathcal C^1$ régulière, c'est-à-dire que les vecteurs $\frac{\partial M}{\partial u}$ et $\frac{\partial M}{\partial v}$ ne sont pas colinéaires. Ils forment alors une base du plan tangent à la surface et permettent de l'orienter. On appelle vecteur normal orienté à la surface le vecteur $$n=\frac{\frac{\partial M}{\partial u}\wedge \frac{\partial M}{\partial v}}{ \left\|\frac{\partial M}{\partial u}\wedge \frac{\partial M}{\partial v}\right\|}.$$ On considère un arc paramétré $\gamma$ tracé sur la surface et on suppose qu'il est paramétré par abscisse curviligne $s\mapsto P(s).$ En tout point, le vecteur vitesse $$t=\frac{\partial P}{\partial s}$$ est donc unitaire et il appartient au plan tangent à la surface. On complète alors la famille $(t,n)$ par le vecteur $g=n\wedge t$ de sorte que $(t,g,n)$ forme une base orthonormale directe. Le vecteur $g$ s'appelle vecteur normal géodésique et le repère $(P(s),t,g,n)$, où les vecteurs $t,g,n$ sont calculés au point $P(s)$, s'appelle le repère de Darboux au point $P(s).$

Si on suppose que la nappe et l'arc sont de classe $\mathcal C^2$, les vecteurs $t,g,n$ sont dérivables, et on peut exprimer leurs dérivées en fonction de $t,g,n$. On démontre alors qu'il existe trois réels $\gamma_n$, la courbure normale, $\gamma_g$, la courbure géodésique, et $\tau_g$, la torsion géodésique, tels que $$\left\{ \begin{array}{rcccc} \frac{dt}{ds}&=&&\gamma_g g&+\gamma_n n\\ \frac{dg}{ds}&=&-\gamma_gt&&-\tau_g n\\ \frac{dn}{ds}&=&-\gamma_n t&+\tau_g g. \end{array}\right.$$ Ces formules s'appellent formules de Darboux. En particulier, l'arc paramétré est une géodésique si en tout point sa courbure géodésique est nulle.