Polynômes cyclotomiques

Pour $n\geq 1$, on appelle $n$-ième polynôme cyclotomique le polynôme suivant : $$\phi_n(X)=\prod_{1\leq k\leq n\atop k\wedge n=1}\left(X-e^{2ik\pi/n}\right).$$ Autrement dit, les racines de ce polynôme sont exactement les racines primitives $n$-ièmes de l'unité (c'est-à-dire les racines $n$-ièmes de l'unité qui ne sont pas racines $q$-ièmes pour un entier $q$ strictement inférieur à $n$).

Clairement, les polynômes cyclotomiques sont unitaires à racines simples. On prouve, mais c'est plus difficile, qu'ils sont à coefficients entiers. On peut aussi démontrer qu'ils sont irréductibles dans l'anneau de polynômes $\mathbb Q[X]$ (et même sur $\mathbb Z$), et qu'ils vérifient la relation : $$X^n-1=\prod_{d|n}\phi_d(X).$$ De plus, leur degré est $\phi(n)$, où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler, et si $m\neq n$, alors $\phi_n$ et $\phi_m$ sont premiers entre eux.

Les polynômes cyclotomiques sont souvent utilisés pour prouver des résultats d'arithmétique, comme cette version faible du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet : si $n$ est un entier naturel non nul, il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo $n$.

Référence : S.Francinou, H.Gianella, Exercices de Mathématiques pour l'Agrégation, Algèbre 1.