$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Endomorphisme cyclique

Endomorphismes cycliques

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est cyclique s'il existe $x$ de $E$ tel que $(x,u(x),...,u^{n-1}(x))$ soit une base de $E$.

Les endomorphismes cycliques admettent des matrices particulières dans la base précédente :

Proposition : Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $u$ est cyclique si et seulement s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est la matrice compagnon du polynôme caractéristique de $u$.

Autrement dit, $u$ est cyclique si et seulement s'il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est de la forme $$\left( \begin{array}{ccccc} 0&\dots&\dots&0&-a_0\\ 1&0&\ddots&\vdots&-a_1\\ 0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{n-2}\\ 0&\dots&0&1&-a_{n-1} \end{array}\right).$$

On peut aussi caractériser un endomorphisme cyclique à l'aide de son polynôme minimal et de son polynôme caractéristique :

Proposition : Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $u$ est cyclique si et seulement si son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique.

En particulier, un endomorphisme diagonalisable est cyclique si et seulement si ses valeurs propres sont simples.

Enfin, on peut caractériser les endomorphismes cycliques à l'aide de leur commutant.

Proposition : Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $u$ est cyclique si et seulement si son commutant est égal à $\mathbb K[u].$
Topologie de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $\mathcal M_n(\mathbb C)$ et matrices cycliques
Théorème : L'ensemble des matrices cycliques d'ordre $n\geq 2$ est une partie ouverte, dense, non bornée et connexe par arcs de $\mathcal M_n(\mathbb K),$ avec $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C.$
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