Cycle
Soit $E$ un ensemble. On dit qu'une permutation $s$ de $E$ est un cycle de longueur $k$ s'il existe $k$ éléments distincts $\{a_1,\dots,a_n\}$ de $E$ tels que
- $s(a_1)=a_2$
- $s(a_2)=a_3$
- $\cdots$
- $s(a_{k-1})=a_k$
- $s(a_k)=a_1$
- $s(x)=x$ si $x$ n'est pas un des $a_i$.
On note en général ce cycle $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k).$$ L'ensemble $\{a_1,\dots,a_k\}$ est alors appelé support de $s$. Un cycle de longueur 2 est une transposition. Ainsi, une transposition est une permutation qui échange deux éléments.
Lorsque $E$ est fini, les cycles et les transpositions sont générateurs du groupe symétrique. Précisément, on a le théorème :
Théorème : Soit $n\geq 1$.
- Toute élément de $S_n$ s'écrit de manière unique, à l'ordre des termes près, comme produit de cycles à supports disjoints.
- Toute élément de $S_n$ est produit (non unique) de transpositions.
- Les permutations $(1\ 2)$ et $(1\ 2\ \dots\ n)$ engendrent $S_n.$
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