$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorèmes de convergence pour l'intégrale de Lebesgue

Les énoncés suivants sont donnés pour un espace mesuré $(X,B,m)$. Pour des énoncés moins généraux, on pourra considérer que $X=\mathbb R$ ou $X$ est un intervalle, et on pourra enlever les conditions de "presque partout".

Théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo-Lévi)
Théorème : Soit $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de fonctions mesurables sur $X$ à valeurs dans $[0,+\infty]$. On suppose que la suite $(f_n)$ est croissante, c'est-à-dire que, pour tout $x\in X$ et tout $n\in\mathbb N$, $f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$. Alors $\lim_{n\to+\infty} f_n$ est mesurable et $$\lim_{n\to+\infty} \int_X f_n dm= \int_X (\lim_{n\to+\infty} f_n) dm.$$
Théorème de convergence dominée de Lebesgue
Théorème : Soit $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de fonctions mesurables de $X$ dans $\mathbb C$ et soit $f:X\to\mathbb C$. On suppose que :
  • pour presque tout $x\in X$, $f_n(x)\to_{n\to+\infty} f(x)$;
  • il existe $g:X\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $n\in\mathbb N$ et pour presque tout $x\in X$, $|f_n(x)|\leq g(x)$.
Alors $f$ est intégrable et $$\int_X |f-f_n|dm\to 0.$$

En particulier, $\int_X f_n dm\to \int_X f dm$.

On déduit de ce théorème les corollaires pratiques de continuité et de dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale.

Continuité des intégrales à paramètres : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et $f : I\times X\to\mathbb C$. On suppose que :
  • Pour presque tout $x$ de $X$, la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est continue au point $t_0\in I$.
  • Il existe une fonction $g:X\to\mathbb R_+$ intégrable telle que $|f(t,x)|\leq g(x)$ pour tout $t$ de $I$, pour presque tout $x$ de $X$.
Alors la fonction $t\mapsto \int_X f(t,x)dm(x)$ est continue au point $t_0$.
Dérivabilité des intégrales à paramètres : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et $f : I\times X\to\mathbb C.$ On suppose que :
  • Pour presque tout $x$ de $X$, la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est dérivable sur $I.$
  • Il existe une fonction $g:X\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $t$ de $I$, pour presque tout $x$ de $X$, $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)\right|\leq g(x).$
Alors la fonction $F:t\mapsto \int_X f(t,x)dm(x)$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est donnée par $$F'(t)=\int_X \frac {\partial f}{\partial t}(t,x)dm(x).$$
Lemme de Fatou
Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables sur $X$ à valeurs dans $[0,+\infty].$ Alors $\liminf_n f_n$ est mesurable et vérifie $$\int_X \liminf_n f_n dm\leq \liminf_n \int_X f_n dm.$$
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