Algorithme de Crout
L'algorithme de Crout est un algorithme pour calculer la décomposition LU d'une matrice $A$ admettant une telle décomposition (c'est-à-dire une matrice dont tous les mineurs principaux sont non nuls). Il consiste en la méthode suivante :
- on commence par calculer les coefficients de la première ligne des matrices $L$ et $U$ : on a $l_{1,1}=1$ et $u_{1,j}=a_{1,j}$ pour $j=1,\dots,n.$
- on calcule ensuite les coefficients de la deuxième ligne : $$l_{2,1}=\frac{a_{2,1}}{u_{1,1}}$$ et pour $j\geq 2,$ $$u_{2,j}=a_{2,j}-l_{2,1}u_{1,j}.$$
- pour calculer les coefficients sur la $i$-ème ligne, on suppose d'abord qu'on a calculé tous les termes $u_{j,k}$ et $l_{j,k}$ pour $j\leq i-1$ et $1\leq k\leq n.$ On a alors, pour $j\leq i,$ $$l_{i,j}=\frac{a_{i,j}-l_{i,1}u_{1,j}-\cdots-l_{i,j-1}u_{j-1,j}}{u_{j,j}}$$ et pour $j\geq i,$ $$u_{i,j}=a_{i,j}-l_{i,1}u_{1,j}-\cdots-l_{i,i-1}u_{i-1,j}.$$
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