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Sens de variation d'une fonction / d'une suite

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$. La fonction $f$ est croissante sur $I$ si : $$\forall (a,b)\in I^2,\ a\leq b\implies f(a)\leq f(b).$$ Elle est strictement croissante sur $I$ si : $$\forall (a,b)\in I^2,\ a< b\implies f(a)< f(b).$$ Bien sûr, on a des définitions similaires pour des fonctions décroissantes, ou strictement décroissantes. Une fonction est monotone lorsqu'elle est croissante sur $I$ ou lorsqu'elle est décroissante sur $I$. Étudier le sens de variation d'une fonction, c'est découper son ensemble de définition en intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.

Lorsque $f$ est dérivable sur $I$, on peut caractériser la croissance de $f$ par le signe de $f'$ :

Théorème : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$ dérivable. Alors :
  • $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si, pour tout $x\in I$, $f'(x)\geq 0$;
  • $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ et si $f'$ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle $[a,b]\subset I$ avec $a<b$.

Les fonctions monotones sont notamment associées aux homéomorphismes d'intervalles. Par exemple, $f:I\to\mathbb R$ monotone est bijective de $I$ sur $f(I)$ si, et seulement si, elle est continue. Et dans ce cas, la réciproque $f^{-1}$ est elle aussi continue.

Il est également possible de définir une suite croissante, et une suite décroissante. Par exemple, une suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ est croissante si pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\leq u_{n+1}$.

Si vous lisez un texte mathématique anglais, prenez garde à la signification du mot "increasing function" : cela signifie une fonction strictement croissante. Pour désigner une fonction croissante, les anglo-saxons emploient en effet l'expression "non-decreasing"!!! Ah, ces Anglais!

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