Formules de Cramer

Les déterminants permettent de résoudre les systèmes linéaires. On suppose donné le système de $n$ équations à $n$ inconnues suivant : $$\left\{ \begin{array}{ccc} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots +a_{1,n}x_n&=&b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots +a_{2,n}x_n&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\cdots +a_{n,n}x_n&=&b_n\\ \end{array}\right.$$ Ce système admet une unique solution si, et seulement si, le déterminant $D$ du système est non nul, où $D$ est donné par : $$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&\\ a_{2,1}&\ddots&&\\ \vdots&&&\\ &&\dots&a_{n,n} \end{array}\right|.$$ On dit alors que le système est un système de Cramer. On peut déterminer la valeur des inconnues $x_i$ d'un système de Cramer par les formules suivantes, appelées formules de Cramer : $$\displaystyle x_i=\frac{\left|\begin{array}{ccccccc} a_{1,1}&\dots&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&\dots&a_{1,n}\\ a_{2,1}&\dots&a_{2,i-1}&b_2&a_{2,i+1}&\dots&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n-1,1}&\dots&a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\dots&a_{n-1,n}\\ a_{n,1}&\dots&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&\dots&a_{n,n}\\ \end{array}\right|} {D}.$$ Ces formules ne sont cependant jamais utilisées en pratique car elles conduisent à des calculs beaucoup plus longs que la méthode du pivot de Gauss.

La résolution des systèmes linéaires par les déterminants a été entrevue par Leibniz au début du XVIIè siècle. C'est Gabriel Cramer qui a formalisé la règle précédente dans son ouvrage Introduction à l'analyse des lignes des courbes algébriques, publié en 1750.