$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formules de Cramer

Les déterminants permettent de résoudre les systèmes linéaires. On suppose donné le système de $n$ équations à $n$ inconnues suivant : $$\left\{ \begin{array}{ccc} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots +a_{1,n}x_n&=&b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots +a_{2,n}x_n&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\cdots +a_{n,n}x_n&=&b_n\\ \end{array}\right.$$ Ce système admet une unique solution si, et seulement si, le déterminant $D$ du système est non nul, où $D$ est donné par : $$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&\\ a_{2,1}&\ddots&&\\ \vdots&&&\\ &&\dots&a_{n,n} \end{array}\right|.$$ On dit alors que le système est un système de Cramer. On peut déterminer la valeur des inconnues $x_i$ d'un système de Cramer par les formules suivantes, appelées formules de Cramer : $$\displaystyle x_i=\frac{\left|\begin{array}{ccccccc} a_{1,1}&\dots&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&\dots&a_{1,n}\\ a_{2,1}&\dots&a_{2,i-1}&b_2&a_{2,i+1}&\dots&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n-1,1}&\dots&a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\dots&a_{n-1,n}\\ a_{n,1}&\dots&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&\dots&a_{n,n}\\ \end{array}\right|} {D}.$$ Ces formules ne sont cependant jamais utilisées en pratique car elles conduisent à des calculs beaucoup plus longs que la méthode du pivot de Gauss.

La résolution des systèmes linéaires par les déterminants a été entrevue par Leibniz au début du XVIIè siècle. C'est Gabriel Cramer qui a formalisé la règle précédente dans son ouvrage Introduction à l'analyse des lignes des courbes algébriques, publié en 1750.
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