Théorème de Courant-Fischer
Le théorème de Courant-Fischer est un résultat permettant d'exprimer la $k$-ème valeur propre d'une matrice symétrique réelle (où on a rangé les valeurs propres par ordre décroissant) en fonction des valeurs prises par l'application linéaire associée sur les espaces de dimension $k$.
Théorème : Soit $A$ une matrice symétrique réelle d'ordre $n$, et soit
$\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$
ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité) rangées dans l'ordre décroissant. Alors, pour tout $k$ de $\{1,…,n\}$, on a l'égalité
:
\begin{align*}
\lambda_k&=\max_{V\subset\mathbb R^n \atop \dim(V)=k}\left(\min_{x\in V\atop \|x\|=1}\langle Ax,x\rangle\right)\\
&=\min_{V\subset \mathbb R^n\atop \dim(V)=n-k+1}\left(\max_{x\in V\atop \|x\|=1}\langle Ax,x\rangle\right).
\end{align*}
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