Cosinus
Dans le triangle rectangle
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B.$ On appelle cosinus de l'angle
la quantité :
D'un nombre réel
La définition précédente ne permet que de définir le cosinus d'un angle aigu. On peut définir en fait le cosinus d'un nombre réel en utilisant le cercle trigonométrique.
Soit $x$ un réel. On note $M$ le point du cercle trigonométrique telle que la mesure de $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ soit égale à $x$ radians. Le cosinus de $x$ est l'abscisse du point $M.$
Grâce à l'animation Geogebra suivante, vous pouvez faire varier l'angle $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ et voir la courbe représentative de la fonction cosinus se dessiner.
Quelques propriétés de la fonction cosinus
La fonction cosinus est
- $2\pi$-périodique;
- continue sur $\mathbb R$;
- dérivable sur $\mathbb R$, et pour tout $x\in\mathbb R$, $(\cos )'(x)=-\sin(x)$;
- paire : pour tout $x\in\mathbb R$, $\cos(-x)=\cos(x)$;
- développable en série entière : pour tout $x\in\mathbb R$, $$\cos (x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.$$ Cette égalité permet facilement d'étendre la définition de la fonction cosinus aux nombres complexes.
- l'unique solution de l'équation différentielle $y''+y=0$ vérifiant $y(0)=1$ et $y'(0)=0.$
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