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Correction de Yates

La correction de Yates est une modification apportée au test d'indépendance du $\chi^2$ lorsque l'un des effectifs théoriques est trop faible. Précisément, voici comment se déroule un test du $\chi^2$ lorsqu'on applique la correction de Yates :

  • Données :
    • 2 variables $X$ et $Y$, les valeurs possibles de $X$ sont réparties en $\ell$ classes $A_1,\dots,A_\ell$, celles de $Y$ en $c$ classes $B_1,\dots,B_c$.
    • $n$ observations réparties en $\ell\times c$ effectifs observés : $n_{i,j}$ observations ont donné à la fois $A_i$ et $B_j$, avec donc $\sum_{i,j}n_{i,j}=n$.
  • Hypothèse testée : "Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes".
  • Déroulement du test :
    1. On crée le tableau des effectifs qui est un tableau à double-entrée. A l'intersection de la $i$-ème ligne et de la $j$-ième colonne, on écrit l'effectif $n_{i,j}$.
    2. On "borde" le tableau pour calculer les effectifs marginaux : $L_i$ est la somme des termes sur la $i$-ème ligne, $C_j$ est la somme des termes sur la $j$-ième colonne. $$\begin{array}{c|c|c|c|c} &&\quad j \quad &&\\ \hline &\quad \cdots\quad&\cdots&\quad\cdots\quad&\quad\cdots\quad\\ \hline \quad i \quad&\cdots&n_{i,j}&\cdots&L_i\\ \hline &\quad \cdots\quad&\cdots&\quad\cdots\quad&\quad\cdots\quad\\ \hline &&C_j&& \end{array}$$
    3. On calcule les effectifs théoriques (ceux que l'on s'attend à rencontrer si $X$ et $Y$ étaient indépendantes) : $$e_{i,j}=\frac{L_i\times C_j}n.$$
    4. On calcule la valeur de la variable de test. Si pour tout couple $(i,j)$, on a $e_{i,j}\geq 5$, alors on le calcule par la formule usuelle : $$\chi^2=\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^c \frac{(n_{i,j}-e_{i,j})^2}{e_{i,j}}.$$ Si au moins un des $e_{i,j}$ est inférieur ou égal à 5, on applique la correction de Yates en calculant : $$\chi^2=\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^c \frac{\left( |n_{i,j}-e_{i,j}|-\frac 12\right)^2}{e_{i,j}}.$$
    5. On cherche la valeur critique $\chi^2_a$ dans la table de la loi du $\chi^2$ à $(\ell-1)\times (c-1)$ degrés de liberté.
    6. Si $\chi^2<\chi^2_a$, on accepte l'hypothèse, sinon on la rejette.
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