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Corps des fractions d'un anneau intègre

L'ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$ possède une grave lacune. Il existe des éléments non inversibles pour la multiplication. Par exemple, il n'existe pas d'entier $b\in\mathbb Z$ tel que $2b=1$ : $2$ n'est pas inversible pour la multiplication dans $\mathbb Z$. Pour le rendre inversible, il faut plonger $\mathbb Z$ dans l'ensemble des rationnels $\mathbb Q$ où tout élément est devenu inversible.

Ce procédé peut se généraliser à tout anneau intègre $A$. Précisément, on a le théorème suivant :

Théorème : Soit $A$ un anneau intègre. Il existe un plus petit corps, à isomorphisme près, contenant $A$. Ce corps s'appelle corps des fractions de $A$.

Les éléments du corps se notent $\frac ab$, avec $a,b\in A$, $b\neq 0$. On identifie les fractions $\frac ab$ et $\frac cd$ lorsque la relation $ad-bc=0$ est vérifiée.

Fabrication du corps des fractions

Si $A$ est un anneau intègre, on fabrique son corps des fractions de la façon suivante. On munit l'ensemble $E=A\times A\backslash\{0\}$ des opérations suivantes :

  • une addition : $(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)$;
  • une multiplication : $(a,b)\times(c,d)=(ac,bd)$.

On munit ensuite $E$ d'une relation d'équivalence : $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc.$$ On montre alors que l'ensemble quotient de $E$ pour cette relation d'équivalence, c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalences de $E$, muni des opérations précédentes, est un corps, et c'est le corps des fractions de $A$.

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