Spirale de Cornu

Avez-vous déjà remarqué comme un TGV enchaîne les courbes à 300km/h sans qu'on ne ressente rien ? Avez-vous déjà observé comme il est facile de sortir d'une autoroute sans devoir se battre contre son volant ? Prouesse de la technologie moderne ? Pas seulement ... Ceci doit beaucoup à une drôle de courbe, la spirale de Cornu, encore baptisée clothoïde.

Imaginons en effet qu'une route soit constituée de lignes droites et d'arcs de cercles. Lorsque vous roulez à une vitesse constante égale à $V$ en ligne droite, votre corps n'est soumis à aucune accélération. Si d'un coup vous abordez un arc de cercle de rayon $R,$ votre corps, en raison de la force centrifuge, sera soumis brutalement à une accélération valant $V^2/R.$ De quoi le mettre à rude épreuve, lui, la carosserie et les suspensions !

Les ingénieurs réalisent donc des raccordements en utilisant des courbes dont la courbure varie continûment de 0 à une constante donnée. Dans l'idéal, il faut même que le conducteur puisse tourner son volant à une vitesse constante, au fur et à mesure que la courbe se resserre. Une seule courbe vérifie cette condition, la spirale de Cornu, ou clothoïde.

Mathématisons un peu tout cela ! La condition qu'on a sur la clothoïde est que, parcourue à vitesse constante, sa courbure varie linéairement (le volant tourne à la même vitesse). Autrement dit, si $R_c$ est le rayon de courbure (l'inverse de la courbure) et si $s$ est l'abscisse curviligne, on a $R_c \times s=\textrm{constante}.$ En utilisant les formules du rayon de courbure et cette relation, on trouve que les coordonnées $(x(t),y(t))$ de la spirale de Cornu vérifient certaines équations différentielles. La résolution de ces équations différentielles donnent les formules suivantes : la spirale de Cornu est la courbe paramétrée correspondant à : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=&\displaystyle a\int_0^x \cos(x^2)dx\\ y(t)&=&\displaystyle a\int_0^x \sin(x^2)dx. \end{array}\right.$$ Le problème est qu'on ne connait pas une forme explicite d'une primitive de $\cos(x^2)$ et $\sin(x^2)$ et pendant très longtemps, il fut difficile de tracer cette courbe.

Le nom de clothoïde vient du grec klothein, filer. Clotho était celle des 3 Parques qui filait la destinée des hommes avec un fil nommé le temps. D'où le nom de clothoïde, car la courbe ressemble à un fil qui s'enroule le long d'un rouet. Historiquement, on l'a aussi appelée spirale d'Euler, ou spirale de Fresnel. Pourtant, le premier à s'y être intéressé est Jacques Bernoulli, qui l'étudie pour ses travaux en optique dès 1705. Le physicien Alfred Cornu s'y intéresse près d'un siècle plus tard, à l'occasion de travaux sur les phénomènes de diffraction.