Spirale de Cornu
Avez-vous déjà remarqué comme un TGV enchaîne les courbes à 300km/h sans qu'on ne ressente rien? Avez-vous déjà observé comme il est facile de sortir d'une autoroute sans devoir se battre contre son volant? Prouesse de la technologie moderne? Pas seulement... Ceci doit beaucoup à une drôle de courbe, la spirale de Cornu, encore baptisée clothoïde.
Imaginons en effet qu'une route soit constituée de lignes droites et d'arcs de cercles. Lorsque vous roulez à une vitesse constante égale à $V$ en ligne droite, votre corps n'est soumis à aucune accélération. Si d'un coup vous abordez un arc de cercle de rayon $R,$ votre corps, en raison de la force centrifuge, sera soumis brutalement à une accélération valant $V^2/R.$ De quoi le mettre à rude épreuve, lui, la carosserie et les suspensions!
Les ingénieurs réalisent donc des raccordements en utilisant des courbes dont la courbure varie continûement de 0 à une constante donnée. Dans l'idéal, il faut même que le conducteur puisse tourner son volant à une vitesse constante, au fur et à mesure que la courbe se reserre. Une seule courbe vérifie cette condition, la spirale de Cornu, ou clothoïde.
Mathématisons un peu tout cela! La condition qu'on a sur la clothoïde est que, parcourue à vitesse constante, sa courbure varie linéairement (le volant tourne à la même vitesse). Autrement dit, si $R_c$ est le rayon de courbure (l'inverse de la courbure) et si $s$ est l'abscisse curviligne, on a $R_c \times x=\textrm{constante}.$ alors les formules bien connues donnant $s$ et $R_c,$ et on trouve des équations différentielles à résoudre! Et finalement, on trouve que la spirale de Cornu est la courbe paramétrée correspondant à : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=&\displaystyle a\int0^x \cos(x^2)dx\\ y(t)&=&\displaystyle a\int0^x \sin(x^2)dx\\ \end{array}\right.$$ Le problème est qu'on ne connait pas une forme explicite d'une primitive de $\cos(x^2)$ et $\sin(x^2)$ et pendant très longtemps, il fut difficile de tracer cette courbe.