Équation des cordes vibrantes

On considère une corde de masse linéique $\mu$ initialement au repos le long de l'axe des abscisses. Elle est tendue avec une tension $T$ appliquée à ses deux extrémités. On déforme la corde dans la direction de l'axe des ordonnées et on la lâche. On note $y(x,t)$ la distance de la corde par rapport à l'axe des abscisses au point d'abscisse $x$ et au temps $t.$ Alors $y$ est solution de l'équation aux dérivées partielles suivante, appelée équation des cordes vibrantes : $$\frac{\partial ^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=0$$ où $c=\sqrt{\frac T\mu}$ est la vitesse de propagation de l'onde le long de la corde.

Cette équation a notamment été étudiée par D'Alembert et Euler. Ils ont ainsi prouvé que la solution s'écrit $y(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$, où $f$ et $g$ sont des fonctions arbitraires d'une variable réelle deux fois dérivables.

La généralisation de cette équation au cas de plusieurs variables spatiales s'appelle équation des ondes.