$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Géométrie plane >

Coordonnées curvilignes

Dans le plan, ou sur une surface $\mathcal S$ quelconque, supposons données deux familles de courbes $(\Gamma_u)_{u\in I}$ et $(\Delta_v)_{v\in J}$ telles que, pour tout point de $\mathcal S$, il existe un unique couple $(u,v)\in I\times J$ tel que $\{M\}=\Gamma_u\cap\Delta_v.$ Alors le couple $(u,v)$ est appelé coordonnées curvilignes de $M$ par rapport aux familles de courbes $(\Gamma_u)$ et $(\Delta_v).$

Exemple :

  • Dans le plan $\mathbb R^2$ privé de l'origine, la famille $(\Gamma_r)_{r>0}$ des cercles de centre $O$ et de rayon $r>0$ et la famille $(\Delta_\theta)_{\theta\in[0,2\pi[}$ des demi-droites d'angle $\theta$ par rapport à la droite $(Ox)$ permettent de définir les coordonnées polaires de tout point $M$ (différent de l'origine).
  • Dans le quart de plan euclidien $\mathcal S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x>0\textrm{ et }y>0\},$ considérons les familles de parabole $$\Gamma_u:\ y^2=2ux\textrm{ et }\Delta_v:\ x^2=2vy.$$ Pour tout point $M=(x_0,y_0)\in\mathcal S,$ il existe un unique couple $(u,v)$ tel que $\{M\}=\Gamma_u\cap\Delta_v,$ donné par $u=y_0^2/2x_0$ et $v=x_0^2/2y_0.$ Ce couple $(u,v)$ s'appelle coordonnées paraboliques de $M.$
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