Produit de convolution
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $\mathbb R$, leur produit de convolution $f\star g$ est défini par $$f\star g(x)=\int_{\mathbb R}f(x-t)g(t)dt.$$ Bien sûr, il faut des hypothèses sur $f$ et $g$ pour que ce produit soit bien défini. Les hypothèses les plus courantes sont mentionnées dans le théorème suivant :
- Soient $p,q$ dans $[1,+\infty]$ tels que $\frac 1p+\frac 1q=1.$ Soient $f\in L^p(\mathbb R)$ et $g\in L^q(\mathbb R)$. Alors le produit de convolution $f\star g$ est défini partout. C'est une fonction uniformément continue, bornée. Elle tend vers 0 à l'infini si $p\neq 1$ et $q\neq 1$.
- Soient $p\in[1,+\infty[$, $f\in L^1(\mathbb R)$ et $g\in L^p(\mathbb R)$. Le produit de convolution $f\star g$ est défini presque partout, il appartient à $L^p(\mathbb R)$ avec l'inégalité : $$\|f\star g\|_p\leq \|f\|_1\|g\|_p.$$
- Soient $p, q, r\in [1,+\infty]$ tels que $1/p + 1/q = 1 + 1/r$. Soit $f\in L^p(\mathbb R)$ et $g\in L^q(\mathbb R)$. Alors le produit de convolution $f\star g$ est défini presque partout, appartient à $L^r(\mathbb R)$ et $$\|f\star g\|_r\leq \|f\|_p\|g\|_q.$$
Quand il est bien défini, le produit de convolution a de bonnes propriétés :
- il est associatif;
- il est commutatif;
- il est bilinéaire;
- La transformée de Fourier transforme le produit de convolution en produit usuel des fonctions : $$\widehat{f\star g}=\hat f\times \hat g.$$
Effectuer le produit de convolution de deux fonctions signifie réaliser une moyenne de ces deux fonctions. A ce titre, il intervient notamment en électronique dans l'écriture des filtres passe-bande. Il est très utilisé en mathématiques pour approximer et régulariser des fonctions.
On peut donner une version discrète du produit de convolution. Si $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ sont deux suites de nombres complexes, leur produit de convolution est la suite $(c_n)_{n\in\mathbb N}$ de terme général $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.$ Le produit de convolution de deux suites est donc toujours défini. Si de plus $\sum_n |a_n|$ converge et si $\sum_n |b_n|$ converge, alors $\sum_n |c_n|$ converge et on a $$\sum_{n=0}^{+\infty}|c_n|\leq \left(\sum_{n=0}^{+\infty}|a_n|\right)\times\left(\sum_{n=0}^{+\infty}|b_n|\right).$$
Lorsque les suites $(a_n)_{n\in\mathbb Z}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb Z}$ sont indexées par $\mathbb Z,$ leur produit de convolution est la suite $(c_n)_{n\in\mathbb Z}$ de terme général $$c_n=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k b_{n-k}.$$ Cette fois il faut ajouter des hypothèses pour que ce produit de convolution converge, par exemple que $\sum_n |a_n|$ et $\sum_n |b_n|$ converge.
Autrement dit, $\mu_1\star \mu_2$ est la mesure image de la mesure produit $\mu_1\otimes \mu_2$ par l'application somme.
Le produit de convolution de deux mesures vérifie les propriétés suivantes :
- Pour toute fonction mesurable $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $\int_{\mathbb R}f(x)d(\mu_1\star\mu_2)=\int_{\mathbb R^2}f(x+y)d\mu_1(x)d\mu_2(y)$ dès que l'une des deux expressions a un sens.
- le produit de convolution est associatif, commutatif.
- la masse de Dirac en 0 est l'élément neutre du produit de convolution.
- Si $a,b\in\mathbb R$, alors $\delta_a\star \delta_b=\delta_{a+b}$.
- Si $d\mu_1=f(x)dx$ et $d\mu_2=g(x)dx$ sont deux mesures à densité, alors $d(\mu_1\star \mu_2)=(f\star g)dx$. Autrement dit, le produit de convolution des mesures étend le produit de convolution des fonctions.
Le produit de convolution de deux mesures est très utilisée en probabilité pour obtenir la loi de de la somme de deux variables aléatoires indépendantes.