Fonctions fortement convexes

Soit $E$ un espace vectoriel normé réel. Une fonction $f:E\to\mathbb R$ est dite fortement convexe de module $\alpha>0$ si, pour tous $x,y$ de $E$, pour tout $t\in [0,1]$, on a $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-\frac \alpha 2t(1-t)\|x-y\|^2.$$ Ainsi, une fonction fortement convexe est strictement convexe, donc convexe. Cette notion intervient notamment dans les algorithmes de minimisation comme l'algorithme du gradient à pas optimal.

Lorsque $\alpha=0,$ on retrouve la notion de fonction convexe.