Fonctions convexes
Une fonction $f:I\to\mathbb R$, où $I$ est un intervalle, est convexe si, pour tous $x$ et $y$ de $I$, pour tout $t$ de $[0,1]$ : $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).$$ Ceci revient à dire que son épigraphe $E(f)$, défini par $$E(f)=\{(x,y)\in I\times\mathbb R:\ y\geq f(x)\},$$ est une partie convexe de $\mathbb R^2.$
Une fonction $f:I\to\mathbb R$ est strictement convexe si $$\forall (x,y)\in I^2, x\neq y,\ \forall t\in ]0,1[,\ f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y).$$
Interprétation graphique :
Une fonction $f$ est concave si $-f$ est convexe, c'est-à-dire si,pour tous $x$ et $y$ de $I$, pour tout $t$ de $[0,1]$ : $$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).$$
Interprétation graphique :
Exemples :
- La fonction $\exp$ est convexe sur $\mathbb R.$
- Pour $n\in\mathbb N^*$, la fonction $x\mapsto x^n$ est convexe sur $\mathbb R$ si $n$ est pair. Si $n$ est impair, elle est concave sur $\mathbb R_-$ et convexe sur $\mathbb R_+$.
- La fonction $\ln$ est concave sur $\mathbb R_+^*.$
- La fonction $|\cdot|$ est convexe.
- La fonction $x\mapsto \sqrt x$ est concave sur $\mathbb R_+.$
- Les fonctions affines sont les seules fonctions à la fois convexes et concaves sur $\mathbb R.$
Lorsque $f$ est dérivable, la convexité se lit sur la dérivée de $f$ :
- Si $f$ est dérivable sur $I$, $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante sur $I.$
- Si $f$ est dérivable sur $I,$ $f$ est convexe si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de chacune de ses tangentes.
- Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$, $f$ est convexe si et seulement si $f''\geq 0$ sur $I.$
Interprétation graphique :
Les fonctions convexes possèdent certaines propriétés de régularité :
- $f$ est dérivable à gauche et à droite (donc continue) et $f'_g \leq f'_d ;$
- les fonctions $f'_g,$ $f'_d$ sont croissantes ;
- l'ensemble des points $x$ où $f$ n'est pas dérivable (c'est-à-dire tels que $f'_g(x) \neq f'_d(x)$) est au plus dénombrable.
En particulier, si $f$ est deux fois dérivable en $x_0$, et si $x_0$ est un point d'inflexion de $f$, $f''(x_0)=0.$ Réciproquement, si $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_0,$ alors $x_0$ est un point d'inflexion de $f.$
Interprétation graphique :
Exemple : La fonction $x\mapsto x^3$ possède un point d'inflexion en $0.$
Plus généralement, si $A$ est une partie convexe d'un espace vectoriel normé $E,$ une fonction $f:A\to \mathbb R$ est convexe lorsque, pour tous $x$ et $y$ de $A$, pour tout $t$ de $[0,1]$ : $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).$$