Convergence des variables aléatoires
Par nature, les probabilités s'intéressent aux phénomènes limites : que se passe-t-il lorsque l'on réalise à la suite un très grand nombre d'expériences aléatoires? Dans la suite, $(\Omega,\mathcal A,P)$ désigne un espace probabilisé, $(X_n)$ une suite de variables aléatoires sur cet espace, et $X$ une autre variable aléatoire sur ce même espace. On dira que :
- $(X_n)$ converge presque sûrement vers $X$, si, pour presque tout $\omega\in\Omega,$ $$X_n(\omega)\to X(\omega).$$
- $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ si : $$\forall \veps>0,\ \lim_{n\to+\infty}P(|X_n-X|>\veps)=0.$$
- $(X_n)$ converge en moyenne d'ordre $p$, avec $p>0$, vers $X$ si : $$\lim_{n\to+\infty} E(|X_n-X|^p)=0.$$
- $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si, notant $F_n$ la fonction de répartition de $X_n$ et $F$ celle de $X$, en tout réel $x$ où $F$ est continue, on a : $$F_n(x)\to F(x).$$
Le schéma suivant résume les implications entre ces différents modes de convergence. $$ \begin{array}{ccccc} \textrm{Conv. en moyenne}&\implies&\textrm{Conv. en proba.}&\implies&\textrm{Conv. en loi}\\ &&\Uparrow&&\\ &&\textrm{Conv. presque sûre} \end{array}$$ Les implications réciproques sont fausses! Cependant, si $(X_n)$ converge en probabilité vers $X,$ alors il existe $\varphi:\mathbb N\to\mathbb N$ strictement croissante telle que $(X_{\varphi(n)})$ converge vers $X$ presque sûrement.