$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Densité conjointe, densité marginale

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires. On dit que $(X,Y)$ admet une densité conjointe s'il existe une fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R_+$ telle que, pour tous $x,y\in\mathbb R,$ $$F(x,y):=P(X\leq x\textrm{ et }Y\leq y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f(x,y)dxdy.$$ La fonction $f$ est essentiellement unique (c'est-à-dire qu'elle est unique à un ensemble négligeable près) et est alors donnée par $$f(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x,y)$$ cette égalité étant valable pour presque tout $(x,y)\in\mathbb R^2.$ On l'appelle la densité conjointe de $X$ et $Y.$

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires admettant une densité conjointe $f:\mathbb R^2\to\mathbb R_+.$ La densité marginale de $X$ est la densité $f_X$ de la variable aléatoire $X.$ Elle est définie presque partout sur $\mathbb R$ et vérifie, pour $x\in\mathbb R,$ $$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy.$$

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