Densité conjointe, densité marginale
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires. On dit que $(X,Y)$ admet une densité conjointe s'il existe une fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R_+$ telle que, pour tous $x,y\in\mathbb R,$ $$F(x,y):=P(X\leq x\textrm{ et }Y\leq y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f(x,y)dxdy.$$ La fonction $f$ est essentiellement unique (c'est-à-dire qu'elle est unique à un ensemble négligeable près) et est alors donnée par $$f(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x,y)$$ cette égalité étant valable pour presque tout $(x,y)\in\mathbb R^2.$ On l'appelle la densité conjointe de $X$ et $Y.$
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires admettant une densité conjointe $f:\mathbb R^2\to\mathbb R_+.$ La densité marginale de $X$ est la densité $f_X$ de la variable aléatoire $X.$ Elle est définie presque partout sur $\mathbb R$ et vérifie, pour $x\in\mathbb R,$ $$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy.$$