Conditionnement d'une matrice

Les modèles linéaires de la physique, de l'astronomie,..., conduisent souvent à la résolution de grands systèmes linéaires qu'on représente matriciellement par une équation du type $AX=Y$. Il arrive parfois qu'une petite variation sur $Y$ entraîne une grande variation sur $X$. On dit dans ce cas que la matrice, ou le problème, est mal conditionnée.

Exemple : On souhaite résoudre le système linéaire $AX=Y$, où $A$ est la matrice $$A=\begin{pmatrix} 10&7&8&7\\ 7&5&6&5\\ 8&6&10&9\\ 7&5&9&10 \end{pmatrix}.$$ Si $Y$ est le vecteur $$Y=\begin{pmatrix} 32\\23\\33\\31\end{pmatrix}$$ alors on trouve $$X=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}$$ Mais si $Y$ est le vecteur $$Y=\begin{pmatrix} 32.1\\22.9\\33.1\\30.9\end{pmatrix}$$ alors on trouve $$X=\begin{pmatrix} 9.2\\-12.6\\4.5\\-11 \end{pmatrix} $$ Autrement dit, de très petites variations sur $Y$ ont conduit à de grandes variations sur $X$.

De façon précise, si $A$ est une matrice inversible, son conditionnement est $K(A)=\|A\|\times \|A^{-1}\|$. Dans l'exemple précédent, on trouve $K(A)=4488$, où la norme choisie est la norme matricielle associée à la norme infinie sur $\mathbb R^4$.

Ce phénomène de mauvais conditionnement explique pour partie la difficulté de prévoir certains phénomènes. Les appareils de mesure ne sont jamais parfaits, et il est impossible de connaitre exactement $Y$. Cela peut entrainer une très grande imprécision sur la valeur de $X$.