Critère de condensation de Cauchy
Le critère de condensation est un critère de convergence des séries $\sum_n a_n$ lorsque la suite $(a_n)$ est une suite décroissante de réels positifs.
Théorème : Soit $(a_n)$ une suite positive et décroissante. Alors la série $\sum_{n\geq 1}a_n$ converge si et seulement
si la série $\sum_{n\geq 0}2^n a_{2^n}$ converge. De plus, on a
$$\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\leq \sum_{n=0}^{+\infty}2^n a_{2^n}\leq 2\sum_{n=1}^{+\infty}a_n.$$
Dans l'énoncé de ce théorème, on peut remplacer les puissances de $2$ par les puissances de n'importe quel entier strictement supérieur à $1$ (quitte à changer l'inégalité qui apparaît).
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