Quelques notions sur les nombres complexes
Alors qu'ils cherchaient à résoudre des équations du troisième et du quatrième degré, des mathématiciens italiens de la Renaissance (notamment Tartaglia, Cardan, Ferrari) se trouvaient confrontés à l'impossibilité de considérer des racines carrées de nombres réels négatifs. Ils furent amenés à travailler avec le "nombre imaginaire" $\sqrt{-1}.$ Précisément, ils obtenaient des formules semblables à celles utilisant le discriminant pour le degré 2. Mais dans ce cas, quand le discriminant est négatif, on sait bien qu'il n'existe pas de solutions réelles. Dans le cas des polynômes de degré 3, on a toujours une racine réelle, alors que parfois dans les formules de Cardan on se trouve obligé de considérer un "discriminant" négatif. En faisant les calculs formels avec le nombre "racine de -1", ils parvenaient tout de même à trouver cette racine réelle.
Depuis, de nombreux mathématiciens ont étudié en détail ces nombres, jusqu'à la définition contemporaine suivante :
- $\mathbb C$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb R$, et suivent les mêmes règles de calcul (distibutivité, associativité, commutativité...).
- Il existe un élément $i$ de $\mathbb C$ tel que $i^2=-1.$
- Tout élément de $\mathbb C$ s'écrit de manière unique $z=a+ib$, avec $a,b$ des réels.
Vocabulaire :
- $a$ s'appelle partie réelle de $z$, se note $\textrm{Re}(z).$
- $b$ s'appelle partie imaginaire de $z$, se note $\textrm{Im}(z).$
- Si $\textrm{Re}(z)=0$, on dit que $z$ est un imaginaire pur.
- si $z=a+ib$, le nombre complexe $a-ib$ s'appelle le conjugué de $z$.
- l'écriture $z=a+ib$ s'appelle la forme cartésienne de z, ou forme algébrique.
On appelle module du nombre complexe $z=a+ib$ le réel positif $z=\sqrt{a^2+b^2}$. En outre, si $z$ est non nul, il existe un réel $\theta\in\mathbb R$ tel que : $$z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$$ Le réel $\theta$ est unique à $2\pi$-près, et s'appelle un argument de $z$. L'écriture précédente s'appelle forme trigonométrique de $z$.
Le plan muni du repère orthormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est appelé plan complexe ou plan d'Argand. Le nombre complexe $z=x+iy$ est représenté par le point $M$ de coordonnées $(x,y)$. On dit que $M$ est l'image de $z$, ou encore que $z$ est l'affixe de $M$, ou du vecteur $\vec u(x,y).$ En outre, la longueur $OM$ vaut le module de $z$, et une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow i,\overrightarrow{OM})$ est un argument de $z$.
Exemple :
Les affixes respectives de $A$, $B$ et $C$ sont : $1+2i$, $-1$ et $2-i.$