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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Intégration >

Espace mesuré complet

Un espace mesuré $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ est dit complet si toute partie négligeable est mesurable (c'est-à-dire élément de $\mathcal A$). On rappelle qu'une partie $A\subset\Omega$ est négligeable s'il existe $B\in \mathcal A$ telle que $A\subset B$ et $\mu(B)=0.$ La mesure $\mu$ est alors appelée mesure complète et la tribu $\mathcal A$ est appelée tribu complète.

Il existe une méthode pour, partant d'un espace mesuré quelconque $(\Omega,\mathcal A,\mu),$ construire un espace mesuré associé complet :

Théorème : Soit $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré. Définissons $$\mathcal A_\mu=\{A\Delta N:\ A\in\mathcal A,\ N\textrm{ partie négligeable de }\Omega\}.$$ Alors $\mathcal A_\mu$ est une tribu complète sur $\Omega.$ On peut alors définir une mesure complète $\mu'$ sur $\mathcal A_\mu$ en posant $\mu'(A\Delta N)=\mu(A)$. De plus, $\mathcal A_\mu$ et $\mu'$ sont minimaux au sens suivant : si $\mathcal B$ est une tribu complète telle que $\mathcal A\subset\mathcal B,$ et si $\nu$ est une mesure sur $\mathcal B$ telle que $\nu(A)=\mu(A)$ pour tout $A\in\mathcal A,$ alors $\mathcal A_\mu\subset\mathcal B$ et pour tout $A\in\mathcal A_\mu,$ $\nu(A)=\mu'(A).$

La tribu $\mathcal A_\mu$ s'appelle tribu complétée de $\mathcal A,$ et $\mu'$ s'appelle mesure complétée de $\mu.$

Lorsque la tribu $\mathcal B$ est la tribu borélienne, sa tribu complétée s'appelle la tribu de Lebesgue. Il est difficile de construire une partie de $\mathbb R$ qui n'appartient pas à la tribu de Lebesgue. Il est nécessaire pour cela d'utiliser l'axiome du choix.

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