Espace complet/de Banach
On dit qu'un espace métrique $(X,d)$ est complet si toute suite de Cauchy de $X$ est convergente dans $X.$ Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach.
Exemples :
- $(\mathbb R,|\cdot|)$, $(\mathbb C,|\cdot|)$ sont complets mais $(\mathbb Q,|\cdot|)$ n'est pas complet.
- Un espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach.
- L'espace vectoriel $\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de la norme $$\|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|$$ est un espace de Banach.
- L'espace vectoriel $\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de la norme $$\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt$$ n'est pas un espace de Banach.
- Si $(\Omega,\mathcal B,\mu)$ est un espace mesuré et si $p\in[1,+\infty],$ l'espace $L^p(\Omega)$ est un espace de Banach. En particulier, l'espace $\ell^p(\mathbb N)$ des suites de puissance $p$-ième sommable est un espace de Banach.
- L'espace $c_0(\mathbb N)$ (resp. $c(\mathbb N)$) des suites de limite nulle (resp. convergentes), muni de $$\|u_n\|_\infty=\sup_{n\geq 0}|u_n|$$ est un espace de Banach.
La complétude est une notion très importante pour construire des objets par des phénomènes limites. Ainsi, les espaces métriques complets vérifient les 3 propriétés très importantes suivantes :
- Toute série absolument convergente y est convergente.
- Le théorème du point fixe pour une application contractante est vraie.
- Toute application uniformément continue d'une partie dense $D$ d'un espace métrique $X$, à valeurs dans un espace métrique complet $Y$, se prolonge de façon unique à $X$.
Ces 3 théorèmes, ainsi que le théorème de Baire, font que les espaces complets sont le cadre indispensable pour faire de l'analyse fonctionnelle.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique