Matrice compagnon
Soit $P(X)=X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\dots+a_0$ un polynôme de $\mathbb K[X]$ de degré $p$. On appelle matrice compagnon (ou matrice partenaire) de $P$ la matrice carré d'ordre $p$ $$C(P)=\left( \begin{array}{ccccc} 0&\dots&\dots&0&-a_0\\ 1&0&\ddots&\vdots&-a_1\\ 0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{p-2}\\ 0&\dots&0&1&-a_{p-1} \end{array}\right).$$ Ces deux objets sont associés car le polynôme caractéristique de $C(P)$ est exactement $P$.
Les matrices compagnons interviennent dans plusieurs aspects de la réduction des endomorphismes :
- une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton y fait appel.
- dans l'étude des endomorphismes cycliques : $u$ est un endomorphisme cyclique si et seulement s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est égale à $C(P_u)$ où $P_u$ est le polynôme caractéristique de $u$. À ce titre, les matrices compagnons interviennent dans la réduction de Frobenius.
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