Commutant

Soit $G$ un groupe et $x\in G.$ On appelle commutant de $x$ le sous-groupe des éléments de $G$ qui commutent avec $x,$ c'est-à-dire $\{g\in G:\ xg=gx\}.$ On définit aussi parfois le commutant d'une partie $A$ de $G$ comme l'ensemble des éléments de $G$ qui commutent avec tous les éléments de $A,$ c'est-à-dire $\{g\in G:\ \forall x\in A,\ xg=gx\}.$

Si $E$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel et $u\in\mathcal L(E),$ on appelle commutant de $u$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui commutent avec $u$ pour la composition : $$\mathcal C(u)=\{v\in\mathcal L(E):\ u\circ v=v\circ u\}.$$ C'est une sous-algèbre de $(\mathcal L(E),+,\circ)$ qui contient notamment la sous-algèbre $\mathbb K[u]$ des polynômes en $u.$

De la même façon, si $A\in\mathcal M_n(\mathbb K),$ on appelle commutant de $A$ l'ensemble des matrices de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ qui commutent avec $M$ : $$\mathcal C(A)=\{b\in\mathcal M_n(\mathbb K):\ AB=BA\}.$$ C'est une sous-algèbre de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ qui contient tous les polynômes en $A.$